Hva er forskjellen på implikasjon og ekvivalens?
Implikasjon (, ) og ekvivalens () er to svært viktige logiske forbindelser. På denne siden skal du bli bedre kjent med disse symbolene og hvordan de virker i matematikken.
Logikk er nemlig læren om tenkningens lover. Den forutsetter korrekte og holdbare resonnementer, slutninger og bevisførsler som følge av regler, prinsipper, lover og begreper. Logikken har sine røtter i Aristoteles’ tid. I matematikken bruker du fundamentet fra logikken når du gjennomfører beviser.
Så hvordan henger dette sammen? Uten at du kanskje tenker over det, har du allerede jobbet mye med logikk i forkledning. Å løse en likning er en logikkøvelse, der du leter etter et svar slik at likheten blir sann. Og det er nå det blir spennende. Her er to eksempler på hvordan implikasjon og ekvivalens kan se ut:
Når du ser en implikasjonspil (, ) leser du den «hvis-så». Slik som
Hvis Bono er vokalist i U2, så er han en del av bandet U2.
Dersom det er en ekvivalenspil () leser du denne «hvis og bare hvis». Slik som
hvis og bare hvis .
Generelt har du at:
Teori
Implikasjon
Tilfellet der et utsagn automatisk er sant dersom et utsagn er sant. Du sier at « impliserer » eller «hvis så ».
En implikasjon gjelder bare én vei. Det vil si at alltid er sann hvis er sann. Men, selv om er sann så trenger ikke være sann.
Eksempel 1
Se på setningen:
Hvis Ida bor i Oslo, så bor hun i Norge.
(, men ikke )
Hvis Ida bor i Norge, så må hun ikke bo i Oslo.
Dette er en implikasjon siden utsagnet kun er sant én vei. Du kan ikke konkludere at dersom Ida bor i Norge så bor hun i Oslo. Hun kan for eksempel bo i Bergen.
Eksempel 2
Se på setningen:
Hvis det regner, så blir det vått på gaten.
(, men ikke )
Hvis det er vått på gaten, så må det ikke ha regnet.
Det kan ha vært naboens hund som har tisset, eller far som har vannet rosene.
Teori
Ekvivalens
Tilfellet der et utsagn automatisk er sant dersom et utsagn er sant (), og slik at et utsagn automatisk er sant dersom et utsagn er sant ().
Du sier at er ekvivalent med , siden implikasjonen går begge veier. Du har altså « hvis og bare hvis ». At to ting er ekvivalente vil si at du har en likhet.
Eksempel 3
La oss se på slektskapet mellom David Beckham og sønnen Brooklyn Beckham.
Brooklyn er sønnen til David, hvis og bare hvis David er faren til Brooklyn.
()
Brooklyn er sønnen til David er ekvivalent med at David er faren til Brooklyn. Dette kan du dele inn i to implikasjoner:
Hvis Brooklyn er sønnen til David, så er David faren til Brooklyn.
()
Altså, Brooklyn er sønnen til David impliserer at David er faren til Brooklyn. I tillegg:
Hvis David er faren til Brooklyn, så er Brooklyn sønnen til David.
()
Altså, at David er faren til Brooklyn impliserer at Brooklyn er sønnen til David.
Siden du har implikasjon to veier, kan du heller si at du har en ekvivalens.
Eksempel 4
Se på følgende påstand:
I en trekant er alle vinklene like store, hvis og bare hvis alle sidene er like lange.
()
Denne ekvivalensen består av to implikasjoner (her er «alle vinklene i trekanten er like store» og «alle sidene i trekanten er like lange»):
Hvis alle vinklene i en trekant er like store, så er alle sidene i trekanten like lange.
()
og
Hvis alle sidene i en trekant er like lange, så er alle vinklene i trekanten like store.
()
Merk at selv om ekvivalensen er sann behøver ikke de to påstandene i den være sanne, for det finnes jo trekanter som ikke er likesidede. Det ekvivalensen sier er at om den ene er sann, så må den andre også være det, og motsatt. Så om du vet at en trekant er likesidet, så vet du også at alle vinklene i den er like store, og om du vet at alle vinklene i en trekant er like store, så må alle sidene også være like lange.
Eksempel 5
Om , må . Dette betyr at
Men du vet også at om , så er . Slik at
Siden implikasjonen går begge veier er uttrykkene ekvivalente og du skriver
